Magyar Tudomány, 2006/5 536. o.

Bemutatkozik az MTA XI. osztálya


Az erős kölcsönhatás fázisdiagramja

Fodor Zoltán

egyetemi tanár, ELTE TTK - fodor @ bodri.elte.hu

Az elemi részek fizikája a világ legkisebb és legalapvetőbb építőelemeivel foglalkozik. A leggyakoribb vizsgálati eljárás e részecskék ütköztetése valamely részecskegyorsítóban. Sokkal több nagyenergiás elemi részecskével találkozhatunk bizonyos szélsőséges esetekben. Ilyen például a korai Világegyetem, a neutroncsillagok belseje vagy a nehézionok ütközése. Ezen fizikai folyamatok, történések segítségével letapogathatjuk a részecskefizikai elmélet, az erős kölcsönhatás fázisdiagramjának egyes részeit.

A jelenségkört leíró fizikai elmélet a kvantum-színdinamika, az erős kölcsönhatás elmélete. Töltéseinek szétválasztásakor az elektromosságban szokásos 1/r típusú lecsengő potenciál helyett egy minden határon túlnövő lineáris potenciál jelenik meg. Ez a tulajdonság felel azért, hogy a protonokban található három kvark bezáródott. Az energia növelésével a kölcsönhatás gyengül. Ez fázisátmenethez vezethet, melynek során a bezárt kvarkok kiszabadulnak. Ilyen nagy energiák jelennek meg magas hőmérsékleten (ilyenkor az egy szabadsági fokra jutó energia nagy) vagy nagy sűrűségek esetén (ilyenkor a fermionok a Pauli-féle kizárási elv miatt kerülnek egyre magasabb és magasabb energiaszintekre). A részecskefizika kölcsönhatásait (a már említett erős kölcsönhatás mellett ilyen a radioaktív bétabomlásért felelős gyenge kölcsönhatás és a fotonokat leíró kvantumelektrodinamika) a kvantum-mezőelméletek adják meg. Ezen elméletek egyrészt mezőelméletek (más szóhasználattal térelméletek), azaz a dinamikai változókat, mezőket (más szóhasználattal tereket) a geometriai tér pontjaihoz rendeljük. A kvantum-mezőelméletek másik jellemzője, hogy kvantált elméletek. Így ezen elméletek is meghatározott energiaszintekkel rendelkeznek, kvantáltak. Ezen kvantumokhoz azonban már nemcsak meghatározott energiát, hanem impulzust, impulzusmomentumot, részecskeszámot is rendelhetünk. Kézenfekvő tehát a gondolat, hogy az elemi részeknek a fizikáját ezen részecskék, ezen kvantumok segítségével írjuk le.

Rendkívül meglepő az a tény, hogy fenti elképzelést kiegészítve két, szinte triviális feltétellel az elemi részek világának szinte minden jelensége nagy pontossággal leírható. Ezen két feltétel egyike az önellentmondás-mentesség (ezt minden végső elmélettől természetesen elvárjuk). A másik feltétel, hogy az elmélet alapegyenleteit bizonyos szimmetriatranszformációk változatlanul hagyják. A kvantum-elektrodinamikában ez a transzformáció az anyagtereknek egy egységnyi abszolút értékű komplex számmal való megszorzása. A gyenge kölcsönhatás esetében a szorzás 2×2-es (speciális unitér) mátrixokkal, az erős kölcsönhatás esetében pedig 3×3-as (ugyancsak speciális unitér) mátrixokkal történik. Szinte hihetetlen, hogy ezen egyszerű transzformációk a kölcsönhatásokat egyértelműen meghatározzák, és az eredmény teljes összhangban van a kísérletekkel.

A problémák leggyakoribb megoldási módszere a perturbációszámítás. A perturbatív kezelés nem valósítható meg minden esetben. Különösen igaz ez az erős kölcsönhatásra, ahol a csatolási együttható nagy. Az ilyen kérdések megoldása csak egy másik módszer, az ún. rácstérelmélet segítségével lehetséges. A rácstérelmélet a teret és időt nem folytonos változókként kezeli, hanem egy ráccsal helyettesíti. A rács rácspontjaiba az elmélet mezőerősségeit írjuk. Láttuk, hogy kvantumelméleteket egymással fel nem cserélhető operátorok segítségével adhatjuk meg. Létezik egy másik, pályaintegrálos leírási mód, amely jobban illeszkedik a rácsformalizmushoz. A kvantummechanikai átmeneti amplitúdót úgy határozzuk meg, hogy minden létező klasszikus pályára összeadjuk az exp(iS) fázisfaktorokat (i a képzetes egységgyök, S az adott klasszikus pályához tartozó hatás). Fenti eljárást igen egyszerű mezőelméletek kvantálására használni. Ebben az esetben minden létező mezőkonfigurációra adjuk össze az exp(iS) fázisfaktorokat. Mivel ezen fázisfaktorok igen erősen oszcillálnak, célszerű a számolásokat euklideszi téridőben elvégezni. Itt az idő formálisan a képzetes irányba halad, a fázisfaktorokból pedig exp(-S) alakú, a statisztikus fizikából jól ismert, Boltzmann-faktorok lesznek. Ezen Boltzmann-faktorok összegét euklideszi állapotösszegnek hívjuk.

A kvantum-színdinamikához nagyon hasonlít az elektrodinamika. Elektrodinamikában az elektromos és mágneses mezőket, tereket az A vektorpotenciál (valós szám), segítségével adjuk meg. Kézenfekvőnek tűnik az elektrodinamika nem-ábeli általánosítása. Ezen általánosítás során az A tér ne egy valós szám legyen, hanem 2×2 (gyenge kölcsönhatás) 3×3 (erős kölcsönhatás) nulla átlósösszegű hermitikus mátrix.

Hasonlóképpen az ábeli esethez (elektrodinamikához) a mértékinvariancia a nem-ábeli esetben is lényegében egyértelműen kijelöli az alakot. Érdemes megjegyezni, hogy az elektrodinamikával ellentétben a közvetítő mező (A) önkölcsönhatással rendelkezik, mely a térerősség tenzorban fellépő vektorpotenciál kommutátorokból ered. Az ábeli esetben a mértékterek valós számok, az ilyen kommutátor típusú tagok zérus értéket vesznek fel. Nem-ábeli esetben az A tereket mátrixokkal írjuk le, így a kommutátorok nem-zérus értéket vesznek fel.

Rácstérelméleti számolásokhoz az A tereket a rács élein, fermionikus tereket a rács rácspontjain értelmezzük. Az állapotösszegben az összes lehetséges A mezőkonfigurációra kell összeadnunk a bozonikus Boltzmann-faktor és a fermionikus determináns szorzatából álló tagokat. A rácstérelmélet mint módszer számos eredménye ellenére rendelkezett egy megoldhatatlannak tűnő problémával. Képes volt vákuumban, zérus anyagsűrűség mellett válaszokat adni a kérdéseinkre, de sajnos egészen a közelmúltig semmilyen eredményt nem kaptunk nem-eltűnő anyagsűrűség mellett. Ennek oka az elméleti fizika számos területén fellépő úgynevezett előjel probléma. Zérus anyagsűrűség esetén a fizikai mennyiségek kiszámításához szükséges állapotösszeg egyes tagjai mind pozitívak. Nem-eltűnő anyagsűrűség mellett az állapotösszegben mind pozitív, mind negatív tagok megjelennek, melyek nagyrészt kölcsönösen kiejtik egymást. Ennél is súlyosabb a negatív előjellel összefüggő következő probléma. A rácstérelméletben fontossági mintavételt alkalmazunk. Ennek során az egyes mezőkonfigurációk olyan valószínűséggel jelennek meg, mint amilyen az állapotösszegben a járulékuk. Ha azonban a járulék negatív, akkor nem létezik hozzá tartozó valószínűség. Ez a probléma minden fontossági mintavételen alapuló eljárást lehetetlenné tesz.

Az elmúlt években ezen a területen robbanásszerű változásnak lehettünk szemtanúi. Először az úgynevezett többparaméteres átsúlyozás eljárásával sikerült ezekre a fizikailag nagyon fontos kérdésekre választ adni nem-eltűnő anyagsűrűség mellett, majd számos új módszer is megjelent az irodalomban. A nem-eltűnő anyagsűrűséget fizikailag a jól ismert kémiai potenciál segítségével vezetjük be. Minél nagyobb a kémiai potenciál, annál nagyobb az anyagsűrűség. A szokásos leírási mód a nagy kanonikus állapotösszeg. A Lagrange-függvény kiegészül a kémiai potenciál és az anyagsűrűség szorzatát tartalmazó taggal, majd elvégezzük a mértéktérre és a fermionikus terekre a szokásos összegzést. Jelen esetben a kémiai potenciál a fermion-determinánsban jelenik meg, mely ennek következtében tetszőleges komplex szám lehet (ilyen módon jelenik meg az előjelprobléma).

A többparaméteres átsúlyozás módszere egy azonos átalakítás segítségével számolja ki az állapotösszeget. Először bevezetünk egy T0 segédhőmérsékletet. A fontossági mintavételezés T0 hőmérsékleten és zérus kémiai potenciál mellett történik (a zérus kémiai potenciál nem vezet előjelproblémára). Ez az átalakított állapotösszeg integrálási mértéke. Az azonos átalakítás miatt fellépő korrekciós tagot súlyként értelmezzük. Mivel ez a rész tartalmazza a determinánst, a súly nem mindig pozitív. A fontossági mintavételezés problémája megoldódott, az elméletnek a váltakozó előjelekkel kapcsolatos tulajdonsága pedig áthelyeződött egy oszcilláló súlyokból álló összeg kiszámítására. Az eljárás működőképessége azon múlik, hogy a fenti módon bevezetett fontossági mintavételezés (T0, zérus kémiai potenciál) során valóban a vizsgálni kívánt elmélet (T, nem-zérus kémiai potenciál) fontos konfigurációi jelennek-e meg.

Fenti módszerrel lehetőség nyílt nem-eltűnő kémiai potenciál esetén is az erős kölcsönhatás vizsgálatára. Az általunk vizsgálni kívánt fázisátmenet, matematikai értelemben egy szingularitás, valójában véges térfogaton soha nem jelenik meg, csak a végtelen térfogati határesetben. Célunk, az átmenet típusainak feltérképezése, a fázisdiagram megadása a hőmérséklet-kémiai potenciálsíkon, csak a térfogatfüggés feltérképezése révén valósítható meg. A fázisátmenetnek megfelelő szingularitást végtelen térfogati határértékben az állapotösszeg zérushelye jelzi (érdemes emlékeztetni arra, hogy például a nyomást log(Z) segítségével adjuk meg). Véges térfogaton is megjelennek ilyen zérushelyek - Lee-Yang-zérók -, igaz, ezek nem-fizikai, komplex hőmérsékletekhez tartoznak. Amennyiben végtelen térfogati határértékben a rendszer egy valódi fázisátmeneten megy keresztül, akkor a Lee-Yang-zérók a térfogat növelésekor ráhúzódnak a valós tengelyre. Amennyiben csak egy gyors, de analitikus átmenettel állunk szemben, akkor a Lee-Yang-zérók a végtelen térfogati határértékben is nem-eltűnő képzetes résszel fognak rendelkezni, az átmenet analitikus marad. A Lee-Yang-zérók képzetes részének vizsgálata így lehetővé teszi a szingularitásra vezető fázisátmenet és az analitikus átmenet megkülönböztetését.

Összefoglalva: Két fázist különböztetünk meg. Az alacsony hőmérsékletű fázist hadronikus fázisnak nevezzük (ebben a fázisban a tipikus szabadsági fokok a hadronok, kvarkokból és antikvarkokból álló kötött részecskék). A magas hőmérsékletű fázist kvark-gluon plazma fázisnak nevezzük (ebben a fázisban a tipikus szabadsági fokok a kvarkok és gluonok). Zérus és kis kémiai potenciál esetén a két fázis közötti átmenet gyors. Egy adott hőmérséklet (kb. 162 MeV) és kémiai potenciál (kb. 360 MeV) esetén a fázisátmenet másodrendű. A fázisdiagram e pontját hívjuk kritikus végpontnak. Ebben a pontban a kritikus opaleszcenciához hasonló jelenségek kísérleti megjelenését várjuk. Ennél is nagyobb kémiai potenciál, illetve kisebb hőmérséklet esetén a fázisátmenet elsőrendűvé válik. A fázisdiagram kritikus pontjának tanulmányozása a németországi GSI (Darmstadt) kutatóintézetben épülő új részecskegyorsító egyik fő célja.

Kulcsszavak: elemi részecske, világegyetem, neutroncsillag, kvark, rácstérelmélet, gluon


<-- Vissza a 2006/5 szám tartalomjegyzékére


<-- Vissza a Magyar Tudomány honlapra