Lovas István fizikus (Gyöngyöshalász, Heves m., 1931). Az ELTE TTK karán végzett, kutatási területe az elméleti és kísérleti atommagfizika. A fizika doktora, az MTA tagja. 1992–96 között a Központi Fizikai Kutató Intézet vezérigazgatója, jelenleg a debreceni egyetem tanára, az Acta Physica Hungarica fõszerkesztõje.

Lovas István

Szimmetriák

Forgassunk el egy tökéletes gömböt a rögzített középpontja körül, illetve egy tökéletes hengert a rögzített tengelye körül. A forgatás után kapott gömböt, illetve hengert nem tudjuk megkülönböztetni az eredetitõl. Ezt úgy is kifejezhetjük, hogy a gömböt, illetve a hengert az elforgatás önmagába vitte át. Ezért azt mondjuk, hogy a gömb, illetve a henger szimmetrikus. A gömb, illetve a henger elforgatása abban különbözik, hogy a henger elforgatása esetén a tengely van rögzítve, és az elforgatást egyetlen szög jellemzi, ami tetszõleges értékû lehet, míg a gömb esetén a középpont van rögzítve, és az elforgatást három szög jellemzi, amelyek értéke tetszõleges lehet. Hasonlót lehet elmondani a kockáról és a négyzet keresztmetszetû hasábról. A forgatás azonban a kockát, illetve a hasábot csak akkor viszi át önmagába, ha olyan egyenes körül forgatunk, amely átmegy a középponton és merõleges valamelyik oldallapra, valamint az elforgatási szög nagysága 90 fok egész számú többszöröse.

Az elforgatáshoz sok tekintetben hasonlít a tükrözés; ez történhet egy adott pontra, egy adott egyenesre vagy egy adott síkra. Ha egy gömböt tükrözünk a középpontjára vagy egy, a középpontot tartalmazó egyenesre, vagy ilyen síkra, akkor a gömb önmagába megy át. Ezért a gömböt tükörszimmetrikusnak nevezzük.

Ezek a példák arról gyõzhetnek meg bennünket, hogy sokféle szimmetria létezhet, és ezért érdemes általános fogalmakat bevezetni. Ezentúl nevezzük testnek azt, amit elforgatunk, tükrözünk stb., és transzformációnak az elforgatást, a tükrözést stb. Azt a transzformációt, ami a testet önmagába viszi át, nevezzük szimmetria transzformációnak, és azt a testet, amelynek létezik szimmetria transzformációja, szimmetrikus testnek. Ezek között talán legszebbek a hópelyhek.

Vegyük észre, hogy az elsõ mondatban tökéletes gömbrõl beszéltünk, a késõbbi mondatokban pedig testrõl. A „test" geometriai fogalom, ami csak tökéletes lehet. Ha gömb, akkor tökéletes gömb. Ha viszont egy gömb alakú fizikai testrõl beszélünk, az nem lehet tökéletes, mert az az elkészítés módjának pontatlanságai miatt, a díszítései avagy az idõ vasfoga miatt (valamint a kristályos, a molekuláris stb. szerkezete miatt) nem lehet tökéletes gömb. Amikor egy fizikai tárgyról azt mondjuk, hogy gömb vagy kocka stb. alakú, akkor feltételezzük, hogy a geometriai tökéletességtõl való eltérés „elhanyagolható".

Mielõtt további részletekbe bocsátkoznánk, megfogalmazzuk ennek az írásnak a legfontosabb mondatát, ami a következõképpen hangzik:

NEMCSAK TESTEK LEHETNEK SZIMMETRIKUSAK, HANEM A TERMÉSZET TÖRVÉNYEI IS!

Valójában ez az írás a törvények szimmetriáiról kíván szólni.

Itt a törvény fogalmát pontosítani kell. Amikor a „törvény" szót használjuk, akkor nem erkölcsi vagy jogi törvényekre gondolunk, sõt még csak nem is általános természettörvényekre, hanem csak fizikaiakra és ezek közül is csak azokra, amelyek matematikai formában fogalmazhatók meg.

Példaképpen emlékeztetünk a Newton-féle gravitációs törvényre, amit a középiskolában tanultunk. A Newton-törvény két égitest között ható erõk nagyságát adja meg. Pontosabban kimondja, hogy az egyik test által a másikra kifejtett erõ nagysága az égitestek tömegeinek szorzatától és az egymástól mért r távolságuktól függ. Minthogy az r távolság nagyságát az elforgatás nem változtatja meg, azért a két égitest mozgását meghatározó gravitációs törvény a koordinátarendszer elforgatásakor önmagába transzformálódik.

Ahhoz, hogy a természet törvényeinek a mibenlétérõl világos képet alkothassunk, Galileo Galileit hívjuk segítségül. Õ az 1632-ben, Firenzében kiadott Dialogo címû könyvében a következõket írja:

„Zárkózz be egy barátod társaságában egy nagy hajó fedélzete alatt egy meglehetõsen nagy terembe. Vigyél oda szúnyogokat, lepkéket és egyéb röpködõ állatokat, gondoskodjál egy apró halakkal telt vizes edényrõl is, azon kívül akassz fel egy kis vödröt, amelybõl a víz egy alája elhelyezett szûk nyakú edénybe csöpög. Most figyeld meg gondosan, hogy a repülõ állatok milyen sebességgel röpködnek minden irányba, míg a hajó áll. Meglátod azt is, hogy a halak egyformán úszkálnak minden irányban, a lehulló vízcseppek mind a vödör alatt álló edénybe esnek. Ha társad felé hajítasz egy tárgyat, mind az egyik, mind a másik irányba, egyforma erõvel kell hajítanod, feltéve, hogy azonos távolságról van szó. Ha mint mondani szokás, páros lábbal ugrasz, minden irányba ugyanolyan messzire jutsz. Jól vigyázz, hogy mindezt gondosan megfigyeld, nehogy bármi kétely támadhasson abban, hogy az álló hajón mindez így történik."

Világtörténelmet formáló, klasszikus szavak ezek! (Tiszta szívvel ajánlom az olvasónak, hogy olvassa el ezt a kicsiny, de annál nagyobb hatású könyvet, amely M. Zemplén Jolán fordításában jelent meg 1959-ben, az Európa Könyvkiadónál.) Ebben fogalmazódott meg, alig három évszázaddal ezelõtt, a természettudományos megismerés módszertana: VÉGEZZ KÍSÉRLETEKET!

I. Válaszd ki az eszközöket és tervezd meg a kísérleteket.

II. Gondoskodj zavartalan körülményekrõl.

III. Gondosan figyeld meg a jelenségeket.

IV. Ismételd meg a kísérleteket.

V. Barátoddal ellenõriztesd a megfigyeléseidet.

VI. Keress a megfigyelések között összefüggéseket.

VII. Az összefüggésekbõl vonj le következtetéseket.

A Galilei által leírt kísérletekbõl azt a következtetést vonhatjuk le, hogy a vízcseppek mindig függõlegesen esnek, azaz kitüntetik a függõleges irányt. A vízszintesen mozgó élõlények viszont nem tüntetnek ki semmilyen irányt. Az eldobott élettelen testek kitüntetik a függõleges irányt, mert leesnek, de a vízszintes síkban ezek sem tüntetnek ki egyetlen irányt sem.

Értelmezzük ezeket a következtetéseket!

A kísérletek folyamán megfigyelt jelenségek szempontjából a vízszintes síkban minden irány egyenértékû. Feltételezve, hogy léteznek olyan természettörvények, amelyek megszabják a megfigyelt jelenségek lefolyását, azt mondhatjuk, hogy ezek a természettörvények „szimmetrikusak", azaz léteznek olyan transzformációk, nevezetesen a függõleges tengely körüli elforgatások, amelyek ezeket a törvényeket önmagukba viszik át. Ezek az elforgatások szimmetria-transzformációk.

A kritikus hajlamú olvasó ezzel a gondolatmenettel szemben számos kifogást emelhet.

Elõször: A vízszintes síkbeli irányok nem lehetnek egyenértékûek, hiszen a terem falai bizonyos irányokat kitüntetnek. Ez igaz, de Galilei ezért javasolta, hogy a kísérletet nagy teremben végezzük, amelynek a falai távol vannak a megfigyelés helyétõl, és azonkívül szúnyogokat figyeljünk meg, amik nagyon kicsik a terem méretéhez képest. Ha valaki ezt az érvelést nem fogadja el, akkor ismételje meg a kísérletet egy nagy, sík mezõn, olyankor, amikor az eget egyenletesen borítják a felhõk, és nem fúj a szél. Ugyanazt fogja tapasztalni, mint a Galilei által javasolt kísérletben.

Másodszor: Nem mondtuk meg világosan, hogy mit forgatunk el. Ez igaz. Most pótoljuk a hiányt. Válasszunk egy koordináta-rendszert, amit magyarul vonatkoztatási rendszernek hívnak. Ez annyit jelent, hogy lefektetünk a vízszintes síkba két egymásra merõleges x és y egyenest, majd pedig egy harmadik, függõleges z egyenest, ami éppen áthalad az elõzõ kettõ metszéspontján. Amikor elforgatásról beszélünk, akkor mindig erre a koordináta-rendszerre gondolunk.

Harmadszor: Nem fogalmazódott meg semmilyen határozott kijelentés azokról a törvényekrõl, amelyeknek a szimmetriájáról elmélkedünk. Ez érthetõ, hiszen Galilei idején nem is mondhatott senki érdemlegeset azokról a törvényekrõl, mert még fel sem fedezték õket!

Térjünk vissza a Dialogo szövegéhez.

„Most mozogjon a hajó, tetszés szerinti sebességgel, azt fogod tapasztalni, ha a mozgás egyenletes és nem ide-oda ingadozó, hogy az említett jelenségekben semmiféle változás nem következik be. Azoknak egyikébõl sem tudsz arra következtetni, hogy mozog-e a hajó vagy sem."

A hajónak az x tengely mentén történõ állandó v sebességû mozgását egy transzformációval vehetjük figyelembe:

Legyen a K, illetve K’ a parthoz, illetve a hajóhoz rögzített koordináta-rendszer. A t=0 pillanatban essen egybe a két koordináta-rendszer kezdõpontja. Ekkor fennáll az x’ = xv*t összefüggés.

Feltételezzük, hogy az idõ „ugyanúgy telik" mindkét koordináta-rendszerben, azaz: t’ = t.

Galileinek azt a megfigyelésekre alapozott kijelentését, hogy lehetetlen kísérletek útján eldönteni, hogy a hajó mozog-e vagy sem, úgy fejezzük ki, hogy a mozgástörvények szimmetrikusak a fenti transzformációval szemben, azaz a fenti, Galilei-transzformáció a mozgástörvényeket önmagukba viszi át. Másképp fogalmazva, a mozgástörvények matematikai alakja ugyanolyan a parthoz rögzített koordináta-rendszerben, mint amilyen a hajóhoz rögzített eredeti koordináta-rendszerben.

Érdemes kiemelten hangsúlyozni, hogy a mechanika törvényei, amelyeket Newton több mint harminc évvel késõbb (!) fogalmazott meg, kielégítik ezt a követelményt, azaz a Galilei-transzformációval szemben valóban szimmetrikusak.

Sokáig élt az a meggyõzõdés, hogy a Newton-féle mechanika tökéletesen írja le a mechanikai mozgásokat, és a Galileirõl elnevezett transzformáció a természet alapvetõ szimmetria transzformációja.

A XIX. század második felében Maxwell megfogalmazta azokat a törvényeket, amelyek kapcsolatot teremtettek az addig függetlennek hitt elektromos és mágneses jelenségek törvényei között. A Maxwell-féle elmélet a megfigyelésekkel tökéletes egyezést mutatott. Sõt az elmélet alapján elõre meg lehetett jósolni az elektromágneses hullámok létezését is, amiket Hertznek azután sikerült kísérletileg is kimutatnia.

Gond akkor keletkezett, amikor észrevették, hogy a Galilei-transzformációval szemben a Maxwell-egyenletek nem szimmetrikusak.

A század vége felé Michelson, a kiváló fizikus szó szerint vette Galilei tanácsát, és egy Morley nevû barátjával beszállt egy nagy hajóba, azzal a céllal, hogy ott Galilei intenciójának megfelelõen kísérleteket végezzen. A hajó meglehetõsen nagy volt, voltaképp egy ûrhajó, ma is megvan, Földnek hívják. Michelson egy olyan interferométert épített, amellyel meg lehetett mérni a fény terjedési sebességét a Föld haladási irányában és arra merõleges irányban is. Az eredmény megrázó, sõt szinte hihetetlen volt. A fényterjedési sebesség mindkét irányban ugyanannak a c értéknek adódott, ahol c = 300 000 kilométer per szekundum. Sokáig tartott, amíg ezt a tényt tudomásul vették. Késõbb bebizonyították, hogy a Földhöz képest mozgó fényforrás fénye is ugyanolyan sebességgel mozog, mint a nyugvó forrás fénye. Ezt józan ésszel csak akkor lehetett felfogni, ha feltételezték, hogy az egyik koordináta-rendszerrõl egy hozzá képest v sebességgel mozgó másik koordináta-rendszerre való áttérést nem a Galilei transzformációval valósítják meg, hanem egy olyannal, aminek alkalmazásakor nemcsak a térbeli x koordinátát, hanem a t idõt is transzformálják:

x’ = (xv*t)/(1–v2/c2)1/2.

t’ = (tv*x/c2)/(1–v2/c2)1/2.

Ez a híres Lorentz-féle transzformáció. Nyomban be fogjuk látni, hogy ez a transzformáció garantálni tudja, hogy a fénysebesség mind a két koordináta-rendszerben ugyanaz legyen.

Végezzük el a következõ kísérletet.

Indítsunk el az x tengelyen fekvõ P1 pontból egy fénysugarat a P2 pont felé, ami ugyancsak az x tengelyen van. A P1 és P2 pontok távolságát megmérjük és azt dx-nek találjuk. Azt a dt idõtartamot is megmérjük, ami alatt a P1 pontból induló fénysugár a P2 pontban érkezik.

Ezután kiszámítjuk a fény terjedési sebességét: c = dx*dt .

Barátunk, aki egy x irányban v sebességgel mozgó hajón tartózkodik, ugyancsak elvégzi a szükséges méréseket. Õ a mozgó hajón elvégzett mérés alapján arra az eredményre jut, hogy a két pont távolsága dx’, a fénysugár indulása és megérkezése között eltelt idõ pedig dt’.

Ezután kiszámítja a fény terjedési sebességét: c’ = dx’*dt’.

Ha ide a Lorentz-transzformáció képleteit felhasználva behelyettesítjük dx’ és dt’ értékét, akkor a hányados könnyen kiszámítható, és eredményül azt kapjuk, hogy c’=c.

Ezek szerint a fény terjedési sebessége a hajón, illetve a parton egyformán c. Ezt a Michelson-kísérlet által bizonyított igazságot annak az árán sikerült megérteni, hogy a fénynyaláb által megtett távolság is és a terjedési idõ is attól függ, hogy melyik koordináta-rendszerben nyugszik a megfigyelõ. Az Einstein-féle „relativitáselmélet" elnevezés onnan ered, hogy a távolság és az idõtartam nem abszolút fogalmak, hanem relatívak.

Ez elõször minden ember számára szokatlan, mert csak kis sebességû hajókhoz vagyunk szokva, ezért a különbséget nem vesszük észre, ezért (tévesen) azt hisszük, hogy a távolságmérés és az idõtartammérés ugyanarra az eredményre vezet mindkét koordináta-rendszerben. Ez tévedés, ami onnan származik, hogy ha v sokkal kisebb, mint c, akkor a Lorentz-transzformáció átmegy a Galilei-transzformációba.

Amint már említettük, az elektromágneses jelenségek törvényeit összefoglaló Maxwell-egyenleteket a Galilei-transzformáció nem viszi át önmagába, de a Lorentz-transzformáció igen! Mindez Albert Einsteint arra a felismerésre vezette, hogy a Maxwell-féle elektrodinamika törvényei helyesek, míg a newtoni mechanika korrekcióra szorul. A mechanikának a szükséges korrekcióját Einstein elvégezte és többek között arra a világtörténelmi jelentõségû felismerésre jutott, hogy bármely m tömegû nyugvó test E = m*c2 energiával rendelkezik. Ez a nyugalmi energia. Ebbõl következik, hogy a tömeg és az energia egyenértékû. Alkalmas körülmények között egyik a másikba átalakítható.

Ezek az eredmények arra az egyszerû, de mégis alapvetõ jelentõségû következtetésre vezetnek, hogy az igazság az, ami abszolút, az igazság az, ami nem függhet attól, hogy honnan nézem a világot. Más szóval a természettörvény alakja nem függhet attól, hogy a parton avagy az egyenletes sebességgel mozgó hajón fogalmazom meg.

Mindezen sikerek eredményeként a Lorentz-transzformáció igen magas „rangot" nyert: csak azok a törvények lehetnek igazi természettörvények, amelyeket a Lorentz-transzformáció önmagukba visz át. Ennek a követelménynek a felhasználásával fedezték fel az elektromágneses és gyenge kölcsönhatás egyesített elméletét, valamint a kvarkok között ható erõs kölcsönhatást leíró kvantum-színdinamikát.

Az elmondottakat Wigner Jenõ a következõképpen fogalmazta meg.

A valóságnak három szintje létezik. A legalsót alkotják a zavarosnak tûnõ jelenségek. A középszintet foglalják el a természettörvények, amelyek „rendet tesznek" a zavarosnak tûnõ jelenségek között.

A legfelsõ szintet foglalják el a szimmetria-törvények, amelyek „rendet tesznek" a lehetségesnek tûnõ természettörvények között, megadván annak szükséges feltételét, hogy igazak lehessenek.

Véleményem szerint ez a mondás olyan szép, mint egy szimmetrikus virágszirom.

*

Annak a felismerése, hogy a Lorentz-transzformáció szimmetria-transzformáció, éppen 100 évvel ezelõtt történt. Ez indokolta többek között azt, hogy 2005-öt a fizika világéveként ünnepelje az emberiség.