|
|
KÉP, ÉS AMIHEZ TÁRSÍTJUK
Az általános iskolában megtanítottak, hogy a geometriai feladatok
megoldását kezdjem a megoldott állapot elképzelésével. Később rájöttem:
jól jön ez a módszer máskor is (gyakran így írunk fel például
egyenleteket). Az elemi geometrián kívül azonban ez a kép olykor
nehezen illeszkedik általános fogalmainkhoz, sőt, a geometriában sem
olyan egyszerű a helyzet, mint elsőre gondoljuk.
Molnár József tanár úr, akitől az egyetemen 42
éve hallgattam geometriát, egyszer a tőle megszokott, szép ábra helyett
kissé deformált alakzatot rajzolt a táblára. Észrevette azonnal, de nem
javította ki, hanem azt mondta: axiómákon alapuló összefüggésekkel
foglalkozunk, amelyeknek az igazsága nem függ a rajztól, a rajz csak
illusztráció. Valóban: a sikerületlen rajzon a kör messze volt ugyan az
ideális körtől, az egyenes az ideális egyenestől, de az összefüggések
szemléltetésére a rajz mégis alkalmas volt. Így van ez több ezer éve a
geometriában (a matematika részét alkotó geometriában, mert a
földmérőnek az elérhető és elvárt pontosságra kell törekednie).
Mi a helyzet a matematika más területein,
például az n-dimenziós térben, amikor n nagyobb háromnál: van itt
szerepe a látásnak? Válaszul idézem Czách László tanár urat, akitől -
többek között - funkcionálanalízist hallgattam az egyetemen: "azt
értem, hogy valaki nem lát banach térben, ahol egy gömb nála nagyobb
sugarú gömböt is tartalmazhat, de hogy ne lásson hilbert térben,
amelynek csak megszámlálhatóan végtelen dimenziója van!..."
Egy matematikusnak képe kell legyen ezekről a
terekről, azaz valamilyen mértékben látnia kell ezekben a terekben. A
látás szó azonban nyilvánvalóan mást jelent, mint hogy a hétköznapi
életben használjuk. Nem emlékszem, hogy hallottam volna más
matematikusoktól, ők hogyan oldják meg a problémát, ezért csak azt
mondhatom el, én hogyan képzelem magam elé a többdimenziós tereket.
A szó eredeti értelmében természetesen csak
3-dimenziós térben látok, ezért ebben - sőt, lehetőleg a még jobban
kezelhető 2-dimenziósban - próbálom modellezni a tereket. Csoportosítom
az adott feladatban hasonló szerepet játszó dimenzióikat (igyekszem úgy
alakítani a problémát, hogy csoportosíthatók legyenek), és a
csoportokat egy (esetleg két) dimenziónak tekintve próbálom
együttesüket párosával vagy hármasával megvizsgálni. Ha így már látok
valamit, meggondolom, mit veszítettem a csoportosítással, és a
veszteséget megpróbálom ellensúlyozni az összképben (az eredmény már
nem hétköznapi értelemben vett látvány, de köze van ahhoz). Igyekszem
más csoportosításokat is elképzelni, míg végül eljutok a határig,
ameddig a látáson alapuló kép valamilyen általánosításáról merek
beszélni. Természetesen a csoportok egy (vagy két) dimenzióba
tömörítéséből adódó veszteség önmagában is vizsgálható az eredeti
feladatra alkalmazott módszerekkel.
Lássunk egy egyszerű példát a dimenziók
egyesítésére! A síkon elvileg akárhány dimenziós "kockákat"
lerajzolhatunk, a 2-nél többdimenziósakat természetesen csak valamilyen
konvenció szerint átalakítva. Vegyük az egyszerűség kedvéért csak
éleiket, mert ekkor takarással alig kell foglalkoznunk!
- Induljunk ki egy pontból (tekintsük nulladimenziós kockának).
- Szakaszt (egydimenziós kockát) úgy kapunk,
hogy a pontot odébb toljuk, és új helyét az elsővel összekötjük.
- Négyzetet (kétdimenziós kockát) úgy kapunk,
hogy a szakaszt odébb toljuk (eredetijével párhuzamosan), majd eredeti
végpontjait összekötjük eltolt megfelelőjükkel. (Ha az összekötő
szakaszok nem merőlegesek az eredeti szakaszokra, vagy nem azonos a
hosszuk azokéval, akkor "nem fölülről nézzük" az ábrázolt négyzetet.)
- Kockát (háromdimenzióst) úgy kapunk, hogy a
négyzetet odébb toljuk (eredetijével párhuzamosan), majd eredeti
csúcspontjait összekötjük eltolt megfelelőjükkel. (A kocka hat lapjának
mindegyikét "nem nézhetjük egyszerre fölülről", ezért nem lehet mindnek
a képe négyzet.)
- Négydimenziós kockát úgy kapunk, hogy a
háromdimenzióst odébb toljuk (eredetijével párhuzamosan), majd eredeti
csúcspontjait összekötjük eltolt megfelelőjükkel.
A folyamat tovább vihető, de néhány lépés után
már lehetetlen olyan szögben húzni az újabb vonalakat, hogy valamit
látni lehessen, ezért a rajz nem ad semmit a képzelethez.
Az előző folyamatot lejátszhatjuk a térben is,
vonalak helyett drótokkal. Ekkor a négyzetig minden úgy zajlik, mint a
síkon, hiszen műveleteink egy síkon belül maradnak. Új viszont, hogy a
kocka valódi kocka lesz, mert a térben a négyzet odébb tolható saját
síkjára merőleges irányban, éppen éleinek hosszával. Az előbbiek
analógiájára mondhatjuk: a negyedik dimenzióból minden lapját
"fölülről" nézzük. Hogy ez az analóg állítás mennyire kapcsolódik a
látáshoz, sok mindentől függ, közöttük a szemlélő tudásától és
akaratától is. Ha a rálátás szemléltetése érdekében (most összesen négy
dimenziónk van) egy csoportba veszem a kocka három dimenzióját, a
csoport után csak második lesz az a dimenzió, ahonnan nézem: a kép így
a síkban is "elfér"; az ellensúlyozandó veszteség pedig az, hogy a
kocka szakasszá torzul.
A négydimenziós kockát a térben úgy
modellezhetjük, hogy készítünk két azonos méretű kockát, majd
csúcsaikat azonos hosszúságú drótokkal összekötjük. Képzelőerő kérdése,
"látjuk"-e (ki tudjuk-e tapintani) a belsejét és a határoló,
háromdimenziós kockák mindegyikét (ahogyan a síkba rajzolt kocka
belsejét és lapjait). A térben is folytatható az eljárás, de hamarosan
az így kapott modell látványa és tapintása sem ad semmit a képzelethez.
Az n-dimenziós (n nagyobb háromnál) kocka
dimenzióit a háromdimenziós esethez hasonlóan egyesítve az ott leírt,
síkbeli képet kapjuk, csak a pótolandó veszteség szól n dimenzió
egyenesbe torzításáról. Ezek a képből kiveszett dimenziók azonban
hasonlítanak egymásra: az egész veszteséget jól modellezi, ahogyan a
négyzetet szakasszá vonom össze, hogy a "rálátást" síkban
ábrázolhassam. Ez a modell teljes egészében a háromdimenziós térben
van, azaz szereplői a szó eredeti értelmében láthatók.
*
A gondolkodást segítő képnek nem kell semmilyen szempontból hűnek
lennie a gondolkodás tárgyához, a gondolkodó akár tudatosan is
torzíthat. (Kivel nem történt még hasonló: Hogy is hívják, akivel
tegnap délben, a kapuban találkoztunk? Jaj, emlékszem, B-vel kezdődik a
neve. Megvan! Vámos. Szerepe volt ebben, hogy a cirill abc-ben a V
hangot egy B formájú betű jelöli? Nem valószínű, de lehet - az eredmény
szempontjából teljesen mindegy.)
Ötévesen egy hetekig tartó fertőző betegségből
otthon gyógyultam meg: nagymamám ápolt, kettesben voltunk elkülönítve.
Hogy nyugodtan maradjak, szinte folyamatosan mesélt. Esténként az utcai
lámpák fénye a falra vetítette az ablak előtt álló fák ágainak
árnyékát, a széltől mozgó árnyak között megelevenedett számomra az
egész mesevilág. Évekig élénken élt bennem ez az emlék, maguktól is
meséltek az ágak árnyai, de pár év múlva ostornyeles lámpákat
telepítettek a ház előtti járdára, eltűntek az árnyékok, elhallgatott a
mese. Felnőttem, elköltöztem, én meséltem gyerekeimnek (most már ők
mesélnek unokáimnak; talán még egy-egy fordulatban felismerhető, amit
nagymamámtól hallottam, bár ők nem tudnak erről, ahogy én sem tudtam,
nagymamám kitől hallotta, ami nem sajátja volt).
35 évvel egykori betegségem, 15 évvel
elköltözésem után egy éjszakát ismét a régi lakásban töltöttem. Valami
miatt nem működtek a ház elé telepített lámpák, a túloldaliak ismét a
falra vetítették az évtizedek óta nem látott árnyékokat. Félálmomban
újra megelevenedtek nagymamám meséi, a hangját is hallani véltem. Semmi
máshoz nem fogható élmény volt.
HEGEDŰS GÁBOR
|