A KVANTUMLOGIKA BIRKHOFFNEUMANN FÖLFOGÁSA 1

RÉDEI MIKLÓS

[Cikk vége | Zárómegjegyzések | Summary | Hivatkozások | Jegyzetek | Bezárás]

 

1. Bevezetés

A kvantumlogika a modern (XX. századi) tudományfilozófia egyik klasszikus problémaköre. A témakör az elmúlt hatvan év során egy rendkívül szerteágazó kutatási területté vált, mely napjainkban is igen aktív. 2

A kvantumlogikai problémák jellegzetessége, hogy bennük összefonódik a (formális és filozófiai) logika, a különböző filozófiai diszciplínák (tudományfilozófia, metafizika, episztemológia) valamint a fizika (kvantummechanika) és a matematika — utóbbinak különösen olyan területei, amelyek a kvantummechanika és a formális logika számára relevánsak (pl. algebra, valószínűség-számítás, funkcionálanalízis). A kvantumlogikai problémákat e sajátosságuk teszi igazán érdekessé, és egyben olyannyira nem-triviálissá, hogy a kvantumlogikával kapcsolatos viták és kutatások a mai napig folynak.

A kvantumlogika éppen hatvan éve született G. Birkhoff és J. von Neumann 1936-ban megjelent híres dolgozatával [3]. A jelen írás célja föleleveníteni a kvantumlogika eredeti Birkhoff-Neumann koncepcióját. Mi indokolja ezt a történeti visszatekintést? A rövid válasz erre a kérdésre az, hogy a mára hatalmasra duzzadt, szinte áttekinthetetlen kvantumlogikai irodalomban (lásd pl. a [13] bibliográfiát) — két, J. Bub-tól származó dolgozat kivételével [4] és [5] — nem találni olyan írást, amely a Birkhoff-Neumann kvantumlogika-koncepciót elemezné. Ez a tény már maga is kissé meglepő, hiszen az elmúlt hatvan év alatt elért eredmények már biztosítanának bizonyos távlatot, és a kvantummechanika történetére vonatkozó irodalom is igen gazdag. De különösen meglepő a Birkhoff-Neumann koncepció elemzését célul tűző munkák hiánya annak fényében, hogy a kvantumlogika kezdeményezőinek fölfogása, mint azt a jelen írás igyekszik kimutatni, markánsan különbözik attól a fölfogástól, ami később elfogadottá vált, és ma is uralkodó. Ha ez így van, akkor az a további kérdés merül föl, hogy miért nem részesült a Birkhoff-Neumann felfogás nagyobb figyelemben a kvantumlogikai irodalomban. Valószínűleg több oka van ennek, és itt nem célunk a szóba jöhető magyarázatokat megadni. Megelégszünk a következők megjegyzésével, amelyek egyben a jelen írás tárgykörét is körülhatárolják.

A Birkhoff-Neumann koncepció nem érthető meg pusztán csak abból, ahogyan az 1936-os dolgozatban ki van fejtve: Neumann a kvantumlogikáról szóló 1936-os cikk írásával egyidőben dolgozott az "operátorgyűrűk" (mai terminológiában: Neumann-algebrák) elméletén, s a Birkhoff-fal közösen írt [3] dolgozat publikálásának évében jelent meg Neumann-nak a J. Murray társszerzővel írt, a Neumann-algebrák osztályozásával foglalkozó, s ezzel a XX. századi funkcionálanalízis egyik fejezetét megalapozó munkája [12]. Látni fogjuk (a 3. pontban), hogy ezen cikk eredményeinek ismerete nélkül a Birkhoff-Neumann kvantumlogika-fölfogás nem érthető meg.

A Birkhoff-Neumann kvantumlogika-fölfogás egy döntő vonásának megértéséhez azonban egy korábbi, az 1936-os cikket jóval megelőző eseményt is figyelembe kell venni: szükséges látni, hogy Neumann-nak egy először 1927-ben megfogalmazott [21] (majd 1932-es könyvében [22] reprodukált) gondolatmenete, amelyben a kvantummechanikai valószínűség-számítást a valószínűség von misesi relatív frekvencia értelmezése mellett vezeti le, milyen ellentmondással volt terhes. A levezetésben levő ellentmondással Neumann többé-kevésbé tisztában volt, s a hozzá való kritikai viszonya kiindulópontja volt a kvantummechanika szokásos formalizmusára vonatkozó kritikájának. A kvantummechanika történetének ez utóbbi epizódja szintén földolgozatlan még, a már említett két Bub-cikken kívül csak a [17] dolgozatot tudjuk megemlíteni, mint olyat, amely a fizikatörténetnek ezzel az eseményével foglalkozik.

A Birkhoff-Neumann kvantumlogika-fölfogás tehát kapcsolatban van mind a 30-as évek közepén elért mély matematikai fölfedezésekkel, mind a kvantummechanika 1920-as évekbeli történetével, mind pedig egy olyan, mindmáig igen problematikus koncepcióval, mint amilyen a valószínűség "relatív frekvencia" értelmezése. Egy meglehetősen összetett problémáról van szó, helyesebb volna tehát azt mondani, hogy a jelen dolgozat célja nem egyszerűen a Birkhoff-Neumann kvantumlogika-fölfogás fölelevenítése, hanem ennél több, amennyiben a Birkhoff-Neumann-fölfogás rekonstrukcióját kíséreljük meg, és egyben kevesebb, mert nem törekedhetünk itt teljes részletességre. Célunk csak a Birkhoff-Neumann kvantumlogika-fölfogás leglényegesebb elemeinek fölvázolása — azzal a további megszorítással, hogy itt elsősorban a koncepcionális és filozófiai vonatkozásokat kívánjuk kiemelni, a technikai-matematikai részleteket pedig mindenhol, amennyire csak lehetséges, mellőzni fogjuk —, jelöléseket is csak az elkerülhetetlenül szükséges mértékben bevezetve. A további (így a technikai) részletek iránt érdeklődő olvasó tájékozódhat a [16] műben.

 

2. A kvantumlogika standard értelmezése

A kvantumlogika alapgondolata a szokásos fölfogás szerint nagyon egyszerű: Ha PQ(d) a H Hilbert-téren értelmezett Q önadjungált operátornak a d valós Borel-halmazhoz tartozó spektrálprojektora, akkor a kvantummechanika szerint a [x, PQ(d)x] skalárszorzat adja meg annak valószínűségét, hogy a Q operátorral reprezentált megfigyelhető mennyiség értéke a d halmazba esik, ha a rendszer állapotát a x állapotvektor írja le. Ha a x állapotvektor történetesen a PQ(d) altérben van, akkor

[x, PQ(d)x] = 1 (1)

A kvantumlogika azon alapszik, hogy az (1) tényt a következőképpen is megfogalmazhatjuk: "a x állapot igazzá teszi azt a kijelentést, hogy a Q operátorral reprezentált megfigyelhető mennyiség értéke a d halmazba esik". Kvantum-kijelentések (logikai értelemben vett) interpretációinak értelmezve tehát az állapotvektorokat, és azonosítva, amint az a logikában szokásos, egy kijelentést a kijelentést igazzá-tévő interpretációk összességével, oda jutunk, hogy a Hilbert-tér projektorainak P(H) összessége a kvantummechanikai rendszer megfigyelhető mennyiségeinek értékére vonatkozó kijelentéseket (ill. ezek ekvivalencia-osztályait) reprezentálja.

A projektorok P(H) összességén egyszerűen be lehet vezetni egy ˜ parciális rendezést, a kétváltozós v (metszet, intuitíve: az "és" művelet) és w (unió, intuitíve: a "vagy" művelet) valamint a z ("negáció") műveleteket: A ˜ B akkor és csak akkor, ha A mint altér benne van B-ben mint altérben, A v B az A és B alterek halmazelméleti metszetére vetítő projektor, A w B az A és B alterek összegének lezárására vetítő projektor, Az pedig az A altér ortogonális komplementerére vetítő projektor. Ezekkel a műveletekkel P(H) egy speciális hálóvá válik: P(H) atomos, atomisztikus, lefedési tulajdonságú, ortomoduláris teljes háló, az ún. Hilbert-háló. A P(H) teljes háló tulajdonsága azt jelenti, hogy projektorok tetszőleges sokaságának metszete (uniója) szintén projektor, és a metszet (unió) a ˜ szerint legnagyobb (legkisebb) olyan projektor, mely kisebb (nagyobb) a metszetben (unióban) szereplő minden projektornál. Az atomosság jelentése: vannak (˜ szerint) legkisebb elemek a hálóban, ti. egy valamely H-beli vektorra vetítő egydimenziós projektorok, és bármely (nem nulla) projektor esetén van nála kisebb atom. A teljesen atomosság azt jelenti, hogy minden projektor előáll mint a nála kisebb atomok uniója, a lefedési tulajdonság pedig azt mondja ki, hogy tetszőleges A esetén, ha P olyan atom, amelyre A v P = 0, akkor A w P a legkisebb olyan projektor, amely tartalmazza (A w P)-t. Az ortomodularitási tulajdonság pedig a következő teljesülését jelenti:

Ortomodularitás:

Ha A ˜ B és Az ˜ C, akkor A w (BvC) ~ (AwB) v (A w C) (2)

Az ortomodularitási tulajdonság a (P(H)-ban sérülő) disztributivitási törvény.

Disztributivitás:

A w (B v C) ~ (A w B) v (A w C) minden A, B, C-re (3)

gyöngítése (a disztributív hálók tehát ortomodulárisak is). De az ortomodularitási tulajdonság nem a legfinomabb gyöngítése a disztributivitásnak. Nyilvánvaló, hogy az alábbi modularitási tulajdonság "közelebb van" a disztributivitáshoz (azaz erősebb föltétel), mint az ortomodularitás.

Modularitás:

Ha A ˜ B, akkor A w (B v C) ~ (A w B) v (A w C) (4)

Nem nehéz meggyőződni arról a továbbiakban nagyon fontos szerepet játszó tényről, hogy P(H) akkor és csak akkor moduláris háló, ha H véges dimenziós (a bizonyítást illetően lásd pl. [16]).

Kvantumlogikán így — szűkebb értelemben — a kvantummechanikai rendszer leírására szolgáló, általában nem véges dimenziós Hilbert-tér által meghatározott Hilbert-hálót ("konkrét kvantumlogika"), vagy — általánosabban — egy ortomoduláris hálót szokás érteni ("absztrakt kvantumlogika") [1].

Mint említettük, a kvantumlogikai kutatások, és egyáltalában az a gondolat, hogy egy fizikai rendszert a fizikai rendszert leíró elméletből "kiolvasott" logikával lehetséges jellemezni, G. Birkhofftól és Neumann Jánostól származik [3]. Birkhoff és Neumann 1936-os cikkükben először a klasszikus mechanikai rendszerhez tartozó logikát "olvasták ki" a klasszikus mechanikából. Gondolatmenetük végeredménye az volt, hogy a klasszikus mechanikai rendszer fázisterének bizonyos részhalmazaiból álló Boole-algebra (azaz egy ortokomplementumos, disztributív háló) reprezentálja a szóban forgó rendszer logikáját. A kvantumos esetet illetően pedig Neumann és Birkhoff arra a következtetésre jutottak, ill. azt posztulálták, hogy a kvantum-kijelentéskalkulus egy moduláris háló [3] [25, p. 115].

Hangsúlyozzuk, hogy egy nem-véges dimenziós Hilbert-tér projektorhálója azonban nem moduláris (csak ortomoduláris), amit természetesen Birkhoff és Neumann nagyon jól tudtak. Minthogy a kvantummechanikában előforduló Hilbert-tér tipikusan nem-véges dimenziós, Birkhoff és Neumann szerint tehát nem a Hilbert-háló az "igazi" kvantumlogika. De akkor mit tekintett Neumann "igazi" kvantumlogikának, és miért?

A válasz: egy ún. "II1 típusú faktor Neumann-algebra" moduláris projektorhálóját a rajta (lényegében egyértelműen) létező nyomfüggvénnyel. Hogy ez pontosabban mit jelent, hogy miért az ilyen hálók azok, amelyeket Neumann kvantumlogikának tekintett, és hogy mi a jelentősége a nyomfüggvénynek, ezt szeretném a továbbiakban megvilágítani.

 

3. A Birkhoff—Neumann kvantumlogika-fölfogás

3.1 Modularitás és "a priori" valószínűség

Először azt a kérdést szeretném megválaszolni, miért ragaszkodott Neumann és Birkhoff ahhoz, hogy a kvantumlogika moduláris háló legyen?

Ennek megértéséhez azt kell figyelembe venni, hogy a kvantumlogikát Birkhoff és (különösen) Neumann nem pusztán logikaként akarták értelmezni, hanem — a klasszikus valószínűség-számítás analógiájára — eseménystruktúrának is, azaz olyan struktúrának, amelyen értelmezni lehet valószínűséget, mint ahogyan az a klasszikus esetben minden probléma nélkül lehetséges: A klasszikus kijelentés-kalkulus által meghatározott kijelentés-algebra egy Boole-algebra, a klasszikus valószínűség-számításnak a század 30-as éveinek elejére elnyert mértékelméleti formájában pedig a valószínűség egy olyan normált µ mérték az események egy Boole-algebráján, amelynek egyik definiáló tulajdonsága az alábbi, ún. szubadditivitás 3:

µ(A) + µ(B) = µ(A w B) + µ(A v B) (5)

Még később visszatérünk arra a kérdésre, miért tekintette Birkhoff és Neumann olyan fontosnak a szubadditivitási tulajdonságot, most csak rögzítjük, hogy mindenképpen szükségesnek látták megőrzését ahhoz, hogy valószínűség-számításról értelmesen beszélni lehessen.

Ez a szubadditivitási tulajdonság azonban nem az egyetlen olyan tulajdonság, amit Birkhoff és Neumann szerettek volna megkövetelni a kvantumlogikában: Természetesnek tartották megkövetelni egy a klasszikus valószínűségi mértékkel analóg tulajdonságokkal rendelkező olyan valószínűségi mérték létezését, amit a priori valószínűségnek lehet interpretálni: azaz egy olyan d valószínűségi mérték létezését tartották fontosnak biztosítani, amely (5) mellett azzal a tulajdonsággal bír, hogy minden nem-nulla esemény valószínűsége nem nulla.

A klasszikus logika (egy Boole-algebra) helyére lépő kvantumlogikának Neumann és Birkhoff szerint olyan hálónak kell tehát lennie, hogy létezzen rajta egy olyan nem-negatív, véges értékeket fölvevő d függvény, amely legalább a következő két tulajdonsággal rendelkezik:

 (i) d(A) — d(B), ha A + B

(ii) d(A) + d(B) = d(A v B) + d(A w B)

Könnyű bebizonyítani (lásd pl. [16]), s Neumann és Birkhoff is tudták, hogy ha egy hálón létezik az (i)¦(ii) föltételeket kielégítő véges d függvény, akkor az a háló moduláris. Minthogy egy Hilbert-háló általában nem moduláris, nem létezik rajta az (i)-(ii) tulajdonságokat kielégítő véges d függvény, azaz a priori valószínűség. Ez elég meglepő tény, amelyet Neumann a Hilbert-hálók egyik olyan patologikus tulajdonságának tekintett, amely miatt arra a többször tételesen megfogalmazott következtetésre jutott, hogy a szokásos Hilbert-tér formalizmus nem is alkalmas kerete a kvantummechanikának (lásd még ezzel kapcsolatban a fejezet végén írottakat).

Létezik azonban pontosan egy olyan d függvény minden Hilbert-hálón, amely kielégíti (ii)-t, de amely nem föltétlenül véges, ez a szokásos dimenziófüggvény: d(A) = [az A altér dimenziója] (ekvivalensen: d(A) = Tr(A), ahol Tr a nyomfüggvény) ilyen. Egy további fontos fölismerés így az, hogy az (i)-(ii) tulajdonságok teljesülnek véges d-vel abban az esetben, ha a háló egy véges dimenziós Hilbert-tér projektorhálója, d(A) pedig az A altér szokásos lineáris dimenziója. Az (i)-(ii) föltételek a d végességének föltételezésével is konzisztensek tehát, abban az esetben is, ha a háló nem disztributív, és így e föltételek nem zárják ki nem-klasszikus valószínűség-számítás létezését. A véges dimenziós vektorok moduláris altérhálója (projektív geometria) a rajta értelmezett (egyre normált) diszkrét értékeket fölvevő dimenziófüggvénnyel, mint valószínűséggel azonban bizonyosan nem-elegendően tág keret a kvantummechanika számára a véges dimenziósság miatt (véges dimenziós Hilbert-téren a kanonikus [Heisenberg] fölcserélési reláció nem reprezentálható). A Birkhoff-Neumann kvantumlogika-fölfogás szempontjából döntő kérdés tehát, létezik-e egy nem-véges dimenziós Hilbert-téren (nem-véges lineáris dimenziós) projektoroknak olyan nem-disztributív, moduláris hálója, amelyen létezik esetleg nem-diszkrét, hanem "folytonos", pl. a [0, 1] intervallumban minden értéket fölvevő "dimenziófüggvény" Az ilyen hálók létezése nemhogy nem nyilvánvaló, de egyenesen ellentmond az intuíciónak: hiszen ha esetleg léteznek ilyen hálók, akkor azokon a "dimenziófüggvény" nem is lehet azonos a szokásos lineáris dimenzióval (ami egyfelől csak diszkrét értékeket vesz föl, másfelől lehet végtelen). Világos továbbá, hogy e kérdés pozitív megválaszolása nélkül az 1936-os Birkhoff-Neumann-cikkben fölvázolt Birkhoff-Neumann kvantumlogika-koncepció legföljebb követelés, negatív megválaszolása esetén pedig teljesíthetetlen, önellentmondó marad. A szóban forgó cikkben [3] azonban ez a probléma nincs megválaszolva, csak egy hivatkozást találunk Neumann-nak egy publikálás alatt levő munkájára, a már említett Murray-Neumann cikkre [12], mint olyanra, melyben a kvantumlogikának egy "folytonos dimenziós modellje" van leírva.

3.2 "A priori" valószínűség, invariancia és a valószínűség logikai interpretációja

Ez a [12] cikk a fönti kérdést kimerítően megválaszolta. A válasz része a "Neumann-algebrák dimenzióelmélete" néven ismert elméletnek, amely az operátoralgebrák elméletének klasszikus fejezete. E dimenzióelmélet egyik meglepő eredménye az az állítás, hogy létezik nem-véges lineáris dimenziós Hilbert-tér projektoroknak olyan Lq moduláris hálója, melyen létezik egy olyan véges értékeket fölvevő d függvény, amely kielégíti az (i)-(ii) föltételeket. Az ezen projektorok által generált Neumann-algebra az ún. "II1 típusú Neumann-faktor". A dimenzióelméletet itt nem tudjuk részletezni. Rövid áttekintést tartalmaznak pl. a következő írások: [15], [17], [6], [4], [11]. Csak azt szeretném kiemelni, hogy a projektorokon értelmezett d dimenziófüggvény (konstans szorzótól eltekintve) egyértelműen létezik, és a projektorok által meghatározott Neumann-algebrán definiált (konstans szorzótól eltekintve) szintén egyértelmű x nyomfüggvényből származik, pontosan úgy, mint ahogyan a véges dimenziós Hilbert-tér esetén. Az eltérés a véges dimenziós esettől abban van, hogy a x nyomfüggvényt most nem az határozza meg, hogy az összes unitér transzformációra invariáns, hanem az, hogy olyan unitér transzformációkra invariáns, amelyek az algebrában is benne vannak: x(U X U*) = x(X) minden algebrabeli U unitér operátorra.

Birkhoff, de mindenekelőtt Neumann, ezt az Lq moduláris hálót értelmezte olyan "igazi" kvantumlogikaként, amely jól viselkedik valószínűség-számítási szempontból mint eseménystruktúra: az Lq-en definiált d függvény a jól viselkedő (azaz az (i)-(ii) föltételeket kielégítő) a priori valószínűség.

Föl kell figyelni az "a priori" jelentésére az a priori valószínűségre vonatkozóan ebben a Birkhoff-Neumann interpretációban. A priori valószínűségek tipikusan a "principle of insufficient reason" alkalmazásának eredményeképpen keletkeznek a jól ismert gondolatmenetben: Ha adva van események összessége, és nincs semmi okunk egyiket sem kitüntetni, akkor mindegyik eseményhez ugyanazt a valószínűséget rendeljük. Pl. a kockadobás esetén az 1, 2, 3, 4, 5, ill. 6-os dobás mint események mindegyikéhez az 1/6-ot, akkor, ha a kocka szimmetrikus. Ezen meggondolás eredményeképpen az a priori valószínűségek uniform valószínűségekként jelennek meg, és azt gondolhatnánk, hogy ez az uniformitás az a priori valószínűségek megkülönböztető jegye. Ez azonban nem lehet így általában, mert ha egy eseménystruktúra olyan, hogy létezik benne végtelen sok diszjunkt esemény, akkor lehetetlen ezen eseménystruktúrán additív, normált, uniform valószínűséget megadni. Észrevehetjük azonban, hogy a szimmetrikus kockával dobás esetén az uniform valószínűséget úgy is meghatározhatjuk, mint azt a valószínűséget, amelynek az a szimmetria tulajdonsága van, hogy az 1-6 számok bármely permutációjára invariáns. A permutáció-csoportot pedig úgy értelmezhetjük, mint a kocka fizikai szimmetriáját matematikailag kifejező szimmetria-csoportot. Pontosan ez az, ami kifejezi azon intuíciónkat, hogy az egyes dobások (a priori) valószínűségeit a kocka szimmetria- tulajdonságai határozzák meg. És az a priori valószínűségnek ez az a gondolata, ami értelmesen megfogalmazható olyan rendszerekre ill. velük kapcsolatos eseménystruktúrákra, amelyekben végtelen sok diszjunkt esemény létezik: legyen az a priori valószínűség az a valószínűség, amely invariáns az eseménystruktúrán reprezentált szimmetria-csoportra. Természetesen egyáltalán nem nyilvánvaló az, hogy egy adott eseménystruktúrán létezik egy olyan csoporthatás, ami egyértelműen definiál egy invariáns valószínűségi mértéket. Alfred Haar magyar matematikus volt az, aki klasszikus eseménystruktúrákra vonatkozóan ebben az irányban az első általános eredményeket bizonyította a harmincas évek elején ("Haar-mérték"). A Murray¦Neumann dimenzióelmélet ebből a szempontból úgy tekinthető, mint nem-kommutatív mértékelmélet, maga a dimenziófüggvény mint a Haar-mérték nem-kommutatív megfelelője, 4 a II1 típusú Neumann-faktor projektorhálója, azaz a Birkhoff-Neumann kvantumlogika pedig mint egy "oldalak nélküli végtelen kvantum-kocka" esemény struktúrája.

A Birkhoff-Neumann kvantumlogikán értelmezett a priori valószínűség a priori volta pontosan ebben a föntebb részletezett invariancia értelemben a priori: ha, amint az történik a kvantummechanikában, a fizikai rendszer szimmetria-csoportját unitér operátorokkal reprezentáljuk a rendszer (kvantum)logikáján, akkor pontosan akkor és csak akkor létezik egyetlenegy olyan valószínűség, amely invariáns az összes lehetséges szimmetriára, ha kvantumlogikán a Birkhoff-Neumann-féle kvantumlogikát értjük.

Továbbá az a tény, hogy ez az a priori valószínűség egyértelműen meg van határozva az invariancia-tulajdonság által, Neumann számára azt jelentette, hogy a (kvantum) valószínűségnek egy tisztán logikai interpretációja fogalmazható meg. Neumann szavaival:

" [...] azokban a rendszerekben, amelyek a kvantumelmélet logikai hátteréül használhatók, igaz, hogy amint a logika szokásos fogalmai rögzítettek valamely izomorf transzformációra vonatkozóan, az egész valószínűség-elmélet is rögzítve van."

(J. von Neumann: "Unsolved problems in mathematics", Address to the International Mathematical Congress, Amsterdam, September 2, 1954. Typescript, von Neumann Archives, Library of Congress, Washington, D. C, p. 21-22; publikálatlan, idézve: in [5].)

Neumann-nak egy csak a nyolcvanas években publikált munkájában, mely az 1937. szeptember 7. és 10. között a "Pennsylvania State College"-ban (USA) a folytonos geometriákról tartott előadásainak kibővített változata [26] azt is bebizonyítja, hogy ha egy (precíz értelemben irreducibilis) moduláris hálón létezik bizonyos további föltételeket kielégítő dimenziófüggvény, akkor az a háló vagy egy véges dimenziós Hilbert-tér altérhálójával (diszkrét eset), vagy egy II1 típusú Neumann-faktor projektorhálójával izomorf. Ez azt jelenti, hogy a II1 típusú Neumann-faktorok projektorhálói a Birkhoff-Neumann kvantumlogikáknak lényegében egyetlen fajta realizációi.

3.3 Miért tartotta Neumann szükségesnek "a priori" valószínűség létezését a kvantummechanikában?

Mint láttuk, Neumann számára döntő jelentőségű volt, hogy létezzen a priori valószínűség a kvantumlogikán (kvantummechanikában). Miért ragaszkodott ehhez a követeléshez Neumann?

Ennek megértéséhez föl kell idézni Neumann azon gondolatmenetének a lényegét, amellyel 1927-ben levezette a kvantummechanikai valószínűség-számítást a valószínűség von misesi relatív frekvencia interpretációja mellett.

Ugyanis 1927-re világossá vált, hogy a kvantummechanika valószínűségi kijelentései lényegében mind a következő alakúak:

Tr(PQ(d1)PR(d2)) (6)

A (6) formula adja meg annak (relatív, azaz normálatlan) valószínűségét, hogy a Q operátorral reprezentált megfigyelhető mennyiség értéke a d1 halmazba esik, ha az R operátorral reprezentált mennyiség értéke a d2 halmazban van (PQ és PR a Q és P operátorok spektrálmértékei). Neumann célja az 1927-es cikkben [21] az volt, hogy levezesse a (6) formulát a valószínűség von misesi relatív frekvencia-értelmezése mellett. Neumann ehhez először azt mutatta meg, hogy egy P projektorral reprezentált kvantummechanikai kijelentés valószínűsége mindig Tr(W P) alakú, valamilyen W ún. statisztikus (pozitív, lineáris) operátorral. A levezetés neumanni gondolatának lényege ezek után az volt, hogy a problémát mint egy statisztikus következtetési problémát értelmezte, azaz azt kérdezte: Milyen valószínűségre, azaz milyen, a kvantum rendszert leíró statisztikus W operátorra tudunk következtetni a rendszerre vonatkozó azon információ alapján, hogy az R operátorral reprezentált mennyiség értéke a d2 halmazban van — azaz abból, hogy ez utóbbi kijelentések valószínűsége egy? Mint Neumann hangsúlyozta ([22, p. 338.]), további föltevések hiányában erre a kérdésre nincs egyértelmű válasz, ez a probléma alulhatározott, hiszen a keresett "a posteriori" valószínűséget nem határozza meg az, hogy milyen értéket vesz föl néhány rögzített eseményen. Van viszont egyértelmű válasz abban a pillanatban, mihelyst rögzítünk egy a priori valószínűséget, s a keresett a posteriori valószínűséget mint az a priori valószínűségnek az ismert információra vonatkoztatott föltételes valószínűségét értelmezzük, amint az a statisztikus következtetések elméletében tipikusan történik. A (6) formula ebben az értelmezésben úgy származik, ill. úgy értelmezendő, mint a Tr-el adott a priori valószínűségből származó (normálatlan) föltételes valószínűség, ahol a föltétel éppen a PR(d2) projektorral reprezentált azon esemény, hogy "az R operátorral reprezentált mennyiség értéke a d2 halmazban van".

Amint azt Neumann többször is hangsúlyozza, ez a levezetés kizárólag akkor szolgáltatja a kívánt (6) eredményt, ha az a priori, kondicionálandó valószínűség a Tr nyomfüggvénnyel van adva. A Tr nyomfüggvény azonban nem értelmezhető valószínűségként — legalábbis akkor nem, ha a valószínűséget relatív frekvenciaként értelmezzük, hiszen a relatív frekvenciák szükségképpen 0 és 1 közé eső számok, míg Tr(A) végtelen minden végtelen dimenziós A projektor esetén.

Ezen ellentmondás föloldásának három útja lehetséges:

1. Föladni a statisztikus következtetésre épülő levezetést.

2. Föladni a valószínűség relatív frekvencia interpretációját.

3. Föladni a Hilbert-tér kvantummechanikát mint valószínűség-számítási    szempontból patologikus elméletet és keresni egy jól viselkedő    kvantummechanikát.

Neumann a legradikálisabb 3. lehetőséget választotta ill. javasolta. Ezt csak azért tehette meg, mert 1936-ban már tudta, hogy létezik valószínűségszámítási szempontból jól viselkedő, a priori valószínűséget megengedő nem-klasszikus, nem véges (lineáris) dimenziós kvantum eseménystruktúra, azaz kvantumlogika.

Nehéz túlbecsülni Neumann választásának merészségét. Gondoljuk meg: nem kisebb horderejű javaslatot tesz Neumann, mint azt, hogy az 1936-ra már teljesen elfogadott, empirikusan többszörösen adekvátnak bizonyult egyik fundamentális fizikai elméletet talán föl kellene váltani egy másikkal. Ez még akkor is nagyon radikális gondolat, ha — és talán éppen emiatt — csak nagyon óvatosan, mint javaslat hangzik el. 5 A javaslat merészsége azonban nemcsak abban áll, hogy egy rendkívül sikeres elmélet fölváltásának lehetőségét veti föl, hanem abban is, hogy milyen meggondolásra alapozva: nem új empirikus tények, hanem egy tisztán matematikai elmélet eredményei alapján, továbbá azért, mert egészen alapvetőnek tartja a valószínűség relatív frekvencia értelmezését és a statisztikus következtetés alkalmazását az empirikus tudománynak fölfogott fizikában.

3.4 A valószínűség relatív frekvencia értelmezése és a szubadditivitás

Természetesen elvileg lehetséges a fönti 2. lehetőséget is választani, ami azt jelenti, hogy olyan valószínűség-interpretációt fogadunk el, amely elvben megenged végtelen valószínűségeket is értelmeseknek. Neumann számára ez a lehetőség minden bizonnyal föl sem merült: A század húszas-harmincas éveiben a valószínűség relatív frekvencia értelmezése általánosan elterjedt és elfogadott volt, különösen a természettudományokban. (Neumann maga hivatkozik is von Mises 1928-as könyvére. 6) Ha azonban ragaszkodunk a valószínűség relatív frekvencia értelmezéséhez, akkor érthető, hogy miért fontos a µ valószínűségi mértéktől megkövetelni a szubadditivitási tulajdonságot. Ezt egy extrém példán szemléltethetjük. Tegyük föl, hogy a szubadditivitás sérül abban az erős értelemben, hogy léteznek olyan A és B események, amelyekre µ(A) = 0,9, µ(B) = 0,9, de amelyekre µ(A v B) = 0. Ez azt jelentené, hogy valamely referencia-osztályban számolva mind A, mind B relatív gyakorisága 0,9, de együtt sosem következnek be, ami nem lehetséges. Meg lehet mutatni, hogy egy tetszőleges kvantumlogikán (Neumann-hálón) egy mérték akkor és csak akkor elégíti ki a szubadditivitási föltételt, ha a mérték a nyomfüggvény [14]. Minthogy a nyomfüggvény éppen az a mérték, amely érzéketlen az események nem-kommutativitására, megfogalmazódott az az értelmezés is, hogy valójában nem is létezik olyan nem-klasszikus eseménystruktúra, amely egy olyan valószínűség-számítás eseménystruktúrája lenne, melyen a valószínűségeket relatív frekvenciaként értelmezni lehet (lásd [18]).

4. Záró megjegyzések

[ Cikk eleje | Cikk végeZárómegjegyzések | Summary | HivatkozásokJegyzetek ]

 

Összefoglalva: A Birkhoff-Neumann kvantumlogika-fölfogásban a kvantumlogika nem azonos kvantummechanikai rendszert leíró, általában nem-véges dimenziós Hilbert-tér által meghatározott nem-moduláris Hilbert-hálóval, hanem egy speciális Neumann-algebra, az ún. "II1 típusú Neumann-faktor" moduláris projektorhálóját jelenti a rajta egyértelműen létező véges dimenziófüggvénnyel. Ezt a kvantumlogikát Birkhoff és Neumann nemcsak logikának, hanem a nem-klasszikus valószínűség-számítás eseménystruktúrájának tekintette, a dimenziófüggvényt pedig a priori valószínűségnek értelmezte.

Az a priori valószínűséget egyértelműen meghatározza az a követelés, hogy invariáns legyen a logika minden szimmetriájára, s így a valószínűségnek egy tisztán logikai interpretációját nyerjük. Ilyen a priori valószínűség nem létezik a kvantummechanika szokásos Hilbert-tér formalizmusában, s emiatt Neumann a szokásos kvantummechanikát valószínűség-számítási szempontból patologikusnak tartotta.

A kvantummechanika későbbi fejlődése igazolta a Hilbert-tér kvantummechanika elégtelenségét, túlságosan restriktív voltát, de csak részben igazolta a "II1 típusú Neumann-faktor" kitüntetettségét. Kiderült, hogy bizonyos kvantumfizikai rendszerek (relativisztikus kvantumterek) matematikai modelljei — és így logikája — a szokásos Hilbert-tér kvantummechanikánál ill. annak logikájánál is "patologikusabbak". A tudományfilozófia figyelme azonban csak a legutóbbi időkben fordult a kvantumtérelmélettel kapcsolatos problémák felé (lásd pl. a Philosophy of Science Association legutóbbi, 1994-ben rendezett konferenciájának konferencia-kötetét [9]). Ez a problémakör azonban már nem tárgya a jelen írásnak.



HIVAKOZÁSOK

[ Cikk eleje | Cikk végeZárómegjegyzések | Summary | HivatkozásokJegyzetek ]

 

 [1] E. G. Beltrametti—G. Cassinelli: The Logic of Quantum Mechanics, Addison Wesley/Mass. 1981.

 [2] G. Birkhoff: cLattices in applied mathematics", in Lattice Theory (Proceedings of the Second Symposium in Pure Mathematics of the American Mathematical Society, April 1959), ed. by R. P. Dilworth, Providence 1961.

 [3] G. Birkhoff—J. von Neumann: "The logic of quantum mechanics", Annals of Mathematics 37 (1936), 823-843. o., in [25].

 [4] J. Bub: "What does quantum logic explain", in Current Issues in Quantum Logic, ed. by Enrico Beltrametti—Bas C. van Fraassen, Plenum Press, New York 1981.

 [5] J. Bub: "Hidden variables and quantum mechanics — a sceptical review", Erkenntnis 16 (1981), 275¦293. o.

 [6] S. S. Holland Jr.: "The current interest in orthomodular lattices", in Trends in Lattice Theory, ed. by J. C. Abbott, Van Nostrand, New York 1970., in [7]

 [7] C. A. Hooker (ed.): The Logico-Algebraic Approach to Quantum Mechanics, vol. I.: Historical Evolution (D. Reidel Publishing Co., Dordrecht/Holland 1975).

 [8] C. A. Hooker (ed.): The Logico-Algebraic Approach to Quantum Mechanics, vol. II.: Contemporary Consolidation (D. Reidel Publishing Co., Dordrecht/Holland 1975).

 [9] D. Hull—M. Forbes—R. M. Burian (eds.): PSA 1994 (Proceedings of the 1994 Biennial Meeting of the Philosophy of Science Association, Vol. II.), East Lansing, Michigan 1995.

[10] Richard von Mises: Probability, Statistics and Truth (second English edition of Wahrscheinlichkeit, Statistik und Wahrheit, Springer 1928), Dover Publications, New York 1981.

[11] G. Kalmbach: Orthomodular Lattices (Academic Press, London 1983).

[12] F. J. Murray—J. von Neumann: "On rings of operators", Annals of Mathematics 37 (1936), 6-119. o., in [24]

[13] M. Pavicic: "Bibliography on quantum logic", International Journal of Theoretical Physics 31 (1992).

[14] D. Petz—J. Zemanek: "Characterizations of the trace", Linear Algebra and its Applications 111 (1988), 43—52. o.

[15] D. Petz—M. Rédei: "John von Neumann and the theory of operator algebras", in F. Bródy—T. Vámos (eds.): The Neumann Compendium. World Scientific Series of 20th Century Mathematics, Vol. I. (World Scientific, Singapore 1995), 163-181. o.

[16] M. Rédei: Introduction to Quantum Logic (Eötvös University Press 1995).

[17] M. Rédei: "Why John von Neumann did not like the Hilbert space formalism of quantum mechanics (and what he liked instead) ", Studies in the History and Philosophy of Modern Physics (sajtó alatt).

[18] L. E. Szabó: "Is there anything non-classical?" (megjelenés előtt).

[19] M. Takesaki: Theory of Operator Algebras, I. (Springer, New York 1979).

[20] B. C. van Fraassen—Enrico Beltrametti (eds.): Current Issues in Quantum Logic (Plenum Press, New York 1981).

[21] J. von Neumann: "Wahrscheinlichkeitstheoretischer Aufbau der Quantenmechanik", Göttinger Nachrichten 1927, 245-272. o., in [23] 208-235. o.

[22] J. von Neumann: Mathematische Grundlagen der Quantenmechanik (Dover Publications, New York 1943) (first American Edition; first edition: Springer, Heidelberg 1932).

[23] J. von Neumann: Collected Works, Vol. I.: Logic, Theory of Sets and Quantum Mechanics, ed. by A. H. Taub (Pergamon Press 1961).

[24] J. von Neumann: Collected Works, Vol. III: Rings of Operators, ed. by A. H. Taub (Pergamon Press 1961).

[25] J. von Neumann: Collected Works, Vol. IV.: Continuous Geometry and Other Topics, ed. by A. H. Taub (Pergamon Press 1961).

[26] J. von Neumann: "Continuous Geometries with Transition Probability", Memoirs of the American Mathematical Society 34 (1981), 1-210. o.



SUMMARY

[ Cikk eleje | Cikk végeZárómegjegyzések | Summary | HivatkozásokJegyzetek ]

 

The Birkhoff-Neumann Interpretation of Quantum-logic

The author tries to show how the analysis of some historical events in the history of of modern physics, mathematics and logic can contribute to the understanding and right interpretation of the Birkhoff-Neumann interpretation of quantum-logic.



JEGYZETEK

[ Cikk eleje | Cikk vége | Zárómegjegyzések | Summary | Hivatkozások | Jegyzetek ]

 

1  Előadás formában elhangzott a Magyar Filozófiai Társaság Filozófiatörténeti Osztályának felolvasó ülésén 1997 szeptemberében, valamint 1998 februárjában a CEU filozófiai doktori kiegészítő programjának szemináriumán. A szerző köszönettel tartozik az ott kapott reflexiókért. A dolgozathoz vezető kutatást az OTKA támogatta (F 21229). Vissza

2 Ennek több jele közül megemlíthetjük az elsősorban a kvantumlogika művelését célul tűző "International Quantum Structures Association" nemrégiben történt megalakulását, kétévenkénti nemzetközi konferenciáinak népszerűségét, s azt, hogy folyamatosan jelennek meg a kvantumlogika tárgyában cikkek és könyvek, lásd pl. a [13] bibliográfiát. Vissza

3 Szigorúan szólva szubadditivitásnak a µ(A) + µ(B) ˜ µ(A w B) + µ(A v B) egyenlőtlenséget nevezik. A Neumann-algebrák keretein belül azonban az egyenlőtlenség (5)-tel ekvivalens, lásd [14]. Vissza

4 A dimenziófüggvény és a Haar-mérték analógiáját részletesen tárgyalja a [15] dolgozat. Vissza

5 Lásd a [3, 33. lábjegyzet] és [12, Introduction] megfogalmazásokat. Vissza

6 A [22] 156. lábjegyzetében. Vissza

 

[ Cikk eleje | Zárómegjegyzések | Summary | Hivatkozások | Jegyzetek ]